测试：a + b = c ###==6.3 图的矩阵表示==

矩阵是图的一种重要代数表示，它将图的拓扑结构转化为数值阵列，便于利用代数工具（如矩阵乘法、特征值）分析图的路径与连通性质。本节涵盖四种核心矩阵。

==🔷 6.3.1 无向图的关联矩阵==

定义：设无向图 G = ⟨V, E⟩，其中V = {v₁, v₂, …, v_n}，E = {e₁, e₂, …, e_m}。定义矩阵M(G) = (m_ij)_n × m，其中m_ij是顶点 v_i与边 e_j的关联次数（取值为 0, 1, 2）。

• 示例矩阵： $$\Large\left[\begin{array}{c|rrrrr} & e_1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 \\\hlinev_1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\v_2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\v_3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\v_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]$$

==🔷 6.3.2 有向图的关联矩阵==

定义：设无环有向图 D = ⟨V, E⟩，定义矩阵M(D) = (m_ij)_n × m，其中：- m_ij = 1，若v_i 为e_j 的始点； - m_ij = −1，若v_i 为e_j 的终点； - m_ij = 0，若v_i 与e_j不关联。

• 示例矩阵： $$\Large\left[\begin{array}{c|rrrrr} & e_1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 \\\hlinev_1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\v_2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\v_3 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 \\v_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array}\right]$$

==🔷 6.3.3 有向图的邻接矩阵== ⭐

定义：设 D = ⟨V, E⟩，|V| = n。邻接矩阵 A(D) = (a_ij⁽¹⁾)_n × n，其中a_ij⁽¹⁾是从 v_i 到v_j的有向边条数。

• 示例矩阵： $$\Large\left[\begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\\hlinev_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\v_2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\v_3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\v_4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\end{array}\right]$$

• 基本性质：

• 第 i 行和 = d⁺(v_i)，第j 列和 = d⁻(v_j)。

• 元素总和 = m（长度为 1 的通路总数）。

定理 6.5（邻接矩阵的幂）
设 A 为 n 阶有向图 D 的邻接矩阵，则 A^l（l ≥ 1）中的元素具有明确的组合意义：- a_ij^(l)：从v_i 到v_j 长度为l的通路数目。 - a_ii^(l)：从v_i到自身长度为 l 的回路数目。 -$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^{(l)}$：图中长度为 l 的通路总数。 -$\sum_{i=1}^{n}a_{ii}^{(l)}$：图中长度为 l 的回路总数。

推论：令 B_r = A + A² + … + A^r，则B_r中的元素 b_ij^(r)表示从 v_i到 v_j长度不超过 r的通路数。

• 📊 计算示例（基于示例矩阵）：

==🔷 6.3.4 有向图的可达矩阵==

定义：设 D = ⟨V, E⟩，V = {v₁, …, v_n}。可达矩阵P(D) = (p_ij)_n × n，其中：- p_ij = 1，若v_i可达 v_j（存在 v_i 到 v_j 的通路）； -p_ij = 0，否则。

• 示例矩阵： $$\Large\left[\begin{array}{c|rrrr} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\\hlinev_1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\v_2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\v_3 & 0 & 0 & 1 & 1 \\v_4 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\end{array}\right]$$

==🔷作业==

• P1385.18：练习关联矩阵、邻接矩阵与可达矩阵的构造与计算。